哈喽大家好，假如您还对正弦定理和余弦定理的适用范围不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享正弦定理和余弦定理的适用范围的知识，包括正弦定理的证明方法四种的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！
本文目录
一、三角形中的正弦定理如何证明
任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度，
因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。
1、已知三角形的两角与一边，解三角形。
2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。
3、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
1、asinB=bsinA bsinA=csinB asinC=csinA；
3、sinA＝a÷2R sinB＝b÷2R sinC＝c÷2R(其中R为三角形外接圆半径)；
4、a＝2RsinA b＝2RsinB c＝2RsinC；
5、a÷sinA=b÷sinB=c÷sinC=2R。
二、正弦定理的证明方法四种
正弦定理的证明方法四种介绍如下：
方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线（设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径（不妨直径长度设为d)。因圆周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法4.还有一种向量的方法，在旧版课本上。
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
三、钝角三角形怎么证明正弦定理
已知三角形ABC是钝角三角形求证：
AC/sinB=BC/xinA=AB/sinC=2R(R是三角形ABC外接圆的半径）
连接AD因为DC是圆O的直径（半径为R)所以角DAC=90度所以三角形DAC是直角三角形所以sin角ADC=AC/DC=AC/2R因为角B=角ADC所以AC/sinB=2R
AB/sinC=BC/sinA=2R所以正弦定理：BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=2R
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：
一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。
△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有
若三面角的三个面角分别为α、β、γ，它们所对的二面角分别为A、B、C,则
四、正弦定理推导过程
步骤1：在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。
CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。
步骤2：证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等，所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。
变形公式：△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，使用正弦定理进行变形，有：
1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（齐次式化简）
2、asinB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csinA
五、正弦定理的定理证明
只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。
1.若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
2.若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，
此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）
若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。故对任意三角形，定理得证。若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到
∴|j||| Cos90°+|j||| Cos(90°-C)=|j|||Cos(90°-A)
同理,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,
若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°-∠C.同理
a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),
过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,可得
六、正弦定理的证明过程
步骤1、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC
步骤2、证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
END，本文到此结束，假如可以帮助到大家，还望关注本站哦！